阿坝师范学院2021年专升本高等数学考试大纲

　　考试形式和试卷结构

　　一、考试科目

　　高等数学

　　二、 试卷满分及考试时间

　　试卷满分为 100 分，考试时间为 120 分钟。

　　三、 答题方式

　　答题方式为闭卷、笔试。

　　四、 试卷题型结构

　　单选题 5 小题，每小题 4 分，共 20 分;

　　填空题 5 小题，每小题 4 分，共 20 分;

　　计算题 6 小题，每小题 6 分，共 36 分;

　　解答题 2 小题，每小题 7 分，共 14 分;

　　证明题 1 小题，每小题 1 分，共 10 分。

　　考试范围

　　一、函数、极限、连续

　　(一)考试内容

　　1.函数的概念及表示法

　　函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性;复合函数、反函数、分段函数和隐函数;基本初等函数的性质及其图形;初等函数;函数关系的建立。

　　2.数列极限与函数极限的定义及其性质

　　函数的左极限和右极限;无穷小量和无穷大量的概念及其关系;无穷小量的性质及无穷小量的比较;极限的四则运算;极限存在的两个准则：单调有界准则和

夹逼准则，两个重要极限。

　　3.函数连续的概念

　　函数间断点的类型;初等函数的连续性;闭区间上连续函数的性质。

　　(二)考试要求

　　1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系。

　　2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。

　　3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

　　4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。

　　5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与

　　左极限、右极限之间的关系。

　　6.掌握极限的性质及四则运算法则。

　　7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

　　8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价

　　3.会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。

　　4.理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式。

　　5.了解反常积分的概念，会计算反常积分。

　　6.掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积)及函数的平均值。

　　四、向量代数和空间解析几何

　　(一)考试内容

　　向量的概念

　　向量的线性运算;向量的数量积和向量积;向量的混合积;两向量垂直、平行的条件;两向量的夹角;向量的坐标表达式及其运算;单位向量;方向数与方向余弦;曲面方程和空间曲线方程的概念;平面方程;直线方程;平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件;点到平面和点到直线的距离;球面;柱面;旋转曲面;常用的二次曲面方程及其图形;空间曲线的参数方程和一般方程;空间曲线在坐标面上的投影曲线方程。

　　(二)考试要求

　　1.理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。

　　2.掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积)，了解两个向量垂直、平行的条件。

　　3.理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。

　　4.掌握平面方程和直线方程及其求法。

　　5.会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等))解决有关问题。

　　6.会求点到直线以及点到平面的距离。

　　7.了解曲面方程和空间曲线方程的概念。

　　8.了解常用二次曲面的方程及其图形，会求简单的柱面和旋转曲面的方程。

　　9.了解空间曲线的参数方程和一般方程.了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求该投影曲线的方程。

　　五、多元函数微分学

　　(二)考试内容

　　多元函数的概念

　　二元函数的几何意义;二元函数的极限与连续的概念;有界闭区域上多元连续函数的性质;多元函数的偏导数和全微分;全微分存在的必要条件和充分条件。多元复合函数、隐函数的求导法;二阶偏导数;方向导数和梯度;空间曲线的切线和法平面;曲面的切平面和法线;二元函数的二阶泰勒公式;多元函数的极值和条件极值;多元函数的最大值、最小值及其简单应用。

　　考试要求

　　1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。

　　2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。

　　3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。

　　4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法。

　　5.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。

　　6.了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数。

　　7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。

　　8.了解二元函数的二阶泰勒公式。

　　9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。

　　六、多元函数积分学

　　(一)考试内容

　　二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用

　　两类曲线积分的概念、性质及计算;两类曲线积分的关系;格林(green)公式;平面曲线积分与路径无关的条件;二元函数全微分的原函数;两类曲面积分的概念、性质及计算 两类曲面积分的关系;高斯(gauss)公式;斯托克斯(stokes)公式;散度、旋度的概念及计算;曲线积分和曲面积分的应用。

　　(二)考试要求

　　1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。

　　2.掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)，会计算三重积分(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。

　　3.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。

　　4.掌握计算两类曲线积分的方法。

　　5.掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数。

　　6.了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，掌握用高斯公式计算曲面积分的方法，并会用斯托克斯公式计算曲线积分。

　　7.了解散度与旋度的概念，并会计算。

　　8.会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量(平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长等)。

　　七、无穷级数

　　(一)考试内容

　　常数项级数的收敛与发散的概念

　　收敛级数的和的概念;级数的基本性质与收敛的必要条件;几何级数与 p 级数及其收敛性;正项级数收敛性的判别法;交错级数与莱布尼茨定理;任意项级数的绝对收敛与条件收敛;函数项级数的收敛域与和函数的概念;幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域;幂级数的和函数;幂级数在其收敛区间内的基本性质;简单幂级数的和函数的求法;初等函数的幂级数展开式;函数的傅里叶(fourier)系数与傅里叶级数。

　　(二)考试要求